Plan de Estudios
El programa Doctorado en Ciencias Mención Matemática recoge en términos de su diseño curricular los propósitos de la Universidad de La Frontera, los objetivos del Programa y el Perfil del Graduado, que se relacionan con el contribuir al desarrollo regional y nacional potenciando y fortaleciendo la investigación científica en matemática, formando recursos humanos doctorados en matemática, con una amplia y excelente formación avanzada y una sólida especialización en alguna de las líneas o áreas que el Departamento de Matemática y Estadística de la Universidad de La Frontera sostiene, habilitados para realizar investigación científica original, independiente y de punta, y capaces de contribuir a la formación matemática en todos sus niveles. Estos propósitos y directrices, fundamentan y enmarcan la estructura curricular del programa que se constituye sobre tres ciclos de formación.
PLAN DE ESTUDIOS
El programa Doctorado en Ciencias Mención Matemática recoge en términos de su diseño curricular los propósitos de la Universidad de La Frontera, los objetivos del Programa y el Perfil del Graduado, que se relacionan con el contribuir al desarrollo regional y nacional potenciando y fortaleciendo la investigación científica en matemática, formando recursos humanos doctorados en matemática, con una amplia y excelente formación avanzada y una sólida especialización en alguna de las líneas o áreas que el Departamento de Matemática y Estadística de la Universidad de La Frontera sostiene, habilitados para realizar investigación científica original, independiente y de punta, y capaces de contribuir a la formación matemática en todos sus niveles. Estos propósitos y directrices, fundamentan y enmarcan la estructura curricular del programa que se constituye sobre tres ciclos de formación.
Ciclo de formación I 
Ciclo de formación II 
Ciclo de formación III 
CICLO DE FORMACIÓN I: ASIGNATURAS OBLIGATORIAS (PRIMER AÑO)
Este ciclo de formación tiene como objetivo que los estudiantes obtengan una formación básica que le permitan definir su área de investigación y el poder rendir su Examen de Calificación. Para lograr este propósito, este ciclo contempla 4 asignaturas obligatorias (Álgebra Lineal, Análisis I, Topología y Álgebra Abstracta I).
Examen de Calificación Escrito:
Consiste en la evaluación global de los cursos obligatorios. El Comité Académico del programa determinará en cada caso las comisiones evaluadoras respectivas. Al finalizar el segundo semestre (o en caso excepcional tercer semestre), el estudiante deberá tener aprobado el Examen de Calificación. Una vez aprobado el Examen de Calificación, el estudiante adquiere la categoría de candidato a doctor.
CICLO DE FORMACIÓN II: "ROYECTO DE TESIS (SEGUNDO AÑO)
Este ciclo de formación tiene como propósito que el estudiante elabore su proyecto de tesis. Este ciclo lo componen los siguientes cursos y seminarios:
Cursos optativos y Seminario de investigación segundo año:
Esta actividad está orientada a desarrollar el proyecto de tesis o a complementar la formación del estudiante en su línea de investigación. Se desarrolla bajo la modalidad de trabajo con un profesor guía.
Proyecto de Tesis (Examen de Calificación Oral):
Consiste en la realización del estudio del estado del arte de una problemática propia dentro de la línea de investigación y propuesta de investigación a ser desarrollada en la tesis. El proyecto de tesis es elaborado a través de los cursos optativos y Seminario de Investigación.
La defensa del proyecto de tesis debe ser presentada a más tardar el quinto semestre del programa ante una comisión ad-hoc designada por el Comité Académico del programa.
CICLO DE FORMACIÓN III: TESIS DOCTORAL (TERCER Y CUARTO AÑO)
Este ciclo de formación tiene como propósito que el estudiante elabore su Tesis Doctoral, que consiste en un trabajo de investigación individual y original, que permita dar origen, a lo menos, de una publicación en revistas de corriente principal y que sea una contribución en el área de la matemática. La actividad de desarrollo de la Tesis Doctoral comienza una vez aprobado el proyecto de tesis y se extiende entre el quinto y el octavo semestre del programa.
Finalizada la ejecución de la tesis y aprobada por el Director de Tesis; el Comité Académico designará el Jurado de Tesis. Este Jurado estará conformado por el Tutor, cotutor (si lo hubiese), dos académicos externos especialistas en el tema y de reconocido prestigio y el Director del Programa o su representante.
Aceptada la tesis, el candidato podrá presentarse a rendir el Examen de Grado en un plazo indicado por el Comité Académico. El Examen de Grado es un acto público que consistirá en la exposición y defensa de la Tesis de Grado ante el Jurado de Tesis.
Requisitos complementarios de graduación:
Test de Idioma: Consiste en la evaluación de la suficiencia idiomática del estudiante en inglés técnico. El test de idioma deberá ser rendido dentro de los tres primeros años y consistirá en una presentación oral en inglés de un tema de investigación frente a una comisión ad-hoc designada por el Comité Académico del programa.
DOCTORADO EN CIENCIAS MENCIÓN MATEMÁTICA
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ÁLGEBRA LINEAL AVANZADA |
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| Descripción del curso | Estudio avanzado de teoría de matrices y problemas lineales asociados. Estudio de teoría espectral y problemas de optimización, aplicaciones al modelaje y análisis numérico. |
| Objetivos | Dar al estudiante un amplio conocimiento de los distintos elementos de álgebra lineal, con aplicaciones a problemas concretos. |
| Contenidos | Fundamentos de álgebra matricial: operaciones elementales y solución de sistemas lineales: problemas mal condicionados. Espacios lineales: los cuatro espacios lineales asociados a una matriz; aplicaciones lineales: cambio de base. Teoría espectral: determinantes, auto-valores/auto-vectores; espacios normados proyecciones ortogonales y oblicuas; mínimos cuadrados y otros métodos de minimización; matrices positivas definidas (aplicaciones auto-adjuntas). Cálculo matricial: reglas de diferenciación y funciones matriciales (exponencial de una matriz). Aplicaciones en modelaje y análisis numérico. |
| Modalidad de evaluación | Pruebas escritas y exposiciones |
| Bibliografía |
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ANÁLISIS I |
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| Descripción del curso | Estudios profundos sobre distintos aspectos del análisis real. Revisión detallada de teoremas clásicos del análisis. |
| Objetivos | Proporcionar al estudiante un amplio conocimiento de los distintos elementos del análisis real y espacios topológicos. |
| Contenidos | Espacios Normados: Completitud, conexidad, compacidad; Funciones continuas y sucesiones de funciones; Teorema del Punto fijo. Topología del espacio euclidiano. Aplicaciones diferenciables entre espacios euclidianos. Derivada como transformación lineal, gradiente. Regla de la cadena. Curvas en Rn. Aplicaciones de clase Cn: Fórmula de Taylor. Series de funciones Teoremas de la función inversa e implícita. Superficies; multiplicadores de Lagrange. Integrales múltiples Integral superior e integral inferior de una función acotada en un rectángulo. Cambio de variables en integrales múltiples. |
| Modalidad de evaluación | Pruebas escritas y exposiciones |
| Bibliografía |
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ELECTIVO I |
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| Los cursos electivo I, II, III, IV y V son asignaturas de especialización mediante las cuales el estudiante podrá desarrollar y profundizar sus conocimientos en áreas de formación general en matemática. Los cursos electivos se ofrecen a partir del segundo ciclo de formación del programa y se dictan en la medida que los estudiantes inscriban las asignaturas según sus necesidades de formación. A continuación entregamos el detalle de algunos de los cursos electivos que forman parte del programa doctoral:
* Los cursos electivos pueden variar en cada semestre académico según la planificación del Doctorado en Ciencias mención Matemática. |
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ELECTIVO II |
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| Los cursos electivo I, II, III, IV y V son asignaturas de especialización mediante las cuales el estudiante podrá desarrollar y profundizar sus conocimientos en áreas de formación general en matemática. Los cursos electivos se ofrecen a partir del segundo ciclo de formación del programa y se dictan en la medida que los estudiantes inscriban las asignaturas según sus necesidades de formación. A continuación entregamos el detalle de algunos de los cursos electivos que forman parte del programa doctoral:
* Los cursos electivos pueden variar en cada semestre académico según la planificación del Doctorado en Ciencias mención Matemática. |
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ELECTIVO IV |
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| Los cursos electivo I, II, III, IV y V son asignaturas de especialización mediante las cuales el estudiante podrá desarrollar y profundizar sus conocimientos en áreas de formación general en matemática. Los cursos electivos se ofrecen a partir del segundo ciclo de formación del programa y se dictan en la medida que los estudiantes inscriban las asignaturas según sus necesidades de formación. A continuación entregamos el detalle de algunos de los cursos electivos que forman parte del programa doctoral:
* Los cursos electivos pueden variar en cada semestre académico según la planificación del Doctorado en Ciencias mención Matemática. |
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TESIS I |
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| Descripción del curso | Presentación, discusión y exposición del estado del arte en temas específicos de investigación. |
| Objetivos | Presentar a los estudiantes problemas recientes de investigación y posibles problemas para desarrollar. |
| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo |
| Bibliografía | Depende del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
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ELECTIVO V |
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| Los cursos electivo I, II, III, IV y V son asignaturas de especialización mediante las cuales el estudiante podrá desarrollar y profundizar sus conocimientos en áreas de formación general en matemática. Los cursos electivos se ofrecen a partir del segundo ciclo de formación del programa y se dictan en la medida que los estudiantes inscriban las asignaturas según sus necesidades de formación. A continuación entregamos el detalle de algunos de los cursos electivos que forman parte del programa doctoral:
* Los cursos electivos pueden variar en cada semestre académico según la planificación del Doctorado en Ciencias mención Matemática. |
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TESIS III |
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| Descripción del curso | Presentación, discusión y exposición de problemas de investigación propios desarrollados por el alumno. |
| Objetivos | Buscar la mejor solución y presentación de los resultados obtenidos por los estudiantes, para el desarrollo de su tesis.
Reforzar la escritura científica de trabajos de investigación.
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| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo |
| Bibliografía | Depende del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
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TOPOLOGÍA |
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| Descripción del curso | Estudio profundo de elementos generales de espacios topológicos, tales como métricas, topología cociente, bases y grupo fundamental. |
| Objetivos | Dar al estudiante conocimiento detallado de aspectos elementales, básicos de espacios topológicos. |
| Contenidos | Espacios topológicos, topologías, sub-bases, bases. Sub-espacio topológicos. Funciones continúas, funciones abiertas y cerradas. Homeomorfismos. Conectividad. Espacios Hausdorff, regulares y normales. Redes. Espacios compactos. Topología producto y teorema de Tychonoff. Topología cociente. Espacios segundo numerable. Espacios separables. Teorema de metrización de Urysohn. Homotopía. Grupo fundamental. Teorema de Van-Kampen. Espacios de cubrimiento. |
| Modalidad de evaluación | Pruebas escritas y exposiciones |
| Bibliografía |
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ÁLGEBRA ABSTRACTA |
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| Descripción del curso | Estudio detallado de estructuras algebraicas básicas. Revisión de teoremas de homomorfismos e isomorfismos. Clasificación de estructuras. |
| Objetivos | Proporcional al estudiante conocimiento avanzado sobre distintas estructuras algebraicas, tales como grupos, anillos y cuerpos. |
| Contenidos | Grupos, grupos cocientes. Teoremas de Isomorfismos. Teorema de Lagrange. Generadores de grupos finitos Grupos de permutaciones. Teorema de Sylow. Teorema de Jordan-Hölder. Clases de grupos. Anillos e Ideales. Teoremas de Isomorfismos. Dominios enteros, cuerpo de fracciones, dominios principales, dominios euclidianos, dominios de factorización única. Enteros de Gauss. Criterio de Eisenstein, lema de Gauss. Polinomios simétricos. |
| Modalidad de evaluación | Pruebas escritas y exposiciones |
| Bibliografía |
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ELECTIVO III |
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| Los cursos electivo I, II, III, IV y V son asignaturas de especialización mediante las cuales el estudiante podrá desarrollar y profundizar sus conocimientos en áreas de formación general en matemática. Los cursos electivos se ofrecen a partir del segundo ciclo de formación del programa y se dictan en la medida que los estudiantes inscriban las asignaturas según sus necesidades de formación. A continuación entregamos el detalle de algunos de los cursos electivos que forman parte del programa doctoral:
* Los cursos electivos pueden variar en cada semestre académico según la planificación del Doctorado en Ciencias mención Matemática. |
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SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN I |
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| Descripción del curso | Curso de lectura, comprensión y exposición de artículos científicos en un áreas específica de la matemática. |
| Objetivos | Introducir al alumno en temas básicos de investigación, en un área específica de la matemática, a través de la lectura, comprensión y discusión de artículos científicos, comprender las técnicas desarrolladas por diferentes autores para obtener sus resultados. |
| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico que dicte, semestralmente, la disciplina. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo |
| Bibliografía | Depende del área de investigación del académico que dicte la asignatura semestralmente. |
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SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN II |
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| Descripción del curso | Lectura, comprensión y desarrollo de artículos de investigación recientes, pertinentes al desarrollo de un área específica de la matemática. |
| Objetivos | Entregar al alumno técnicas y herramientas para abordar problemas de investigación, en un área específica de la matemática. |
| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico que dicte, semestralmente, la disciplina. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo. |
| Bibliografía | La bibliografía dependerá del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
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TESIS II |
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| Descripción del curso | Discusión de trabajos recientes en el área de desarrollo de la tesis de doctorado, que sean aplicables a los problemas en estudio. |
| Objetivos | Entregar a las estudiantes nuevas técnicas para abordar los problemas en desarrollo para su tesis. |
| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo |
| Bibliografía | Depende del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
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SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN III |
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| Descripción del curso | Presentación, discusión y exposición de problemas de investigación. |
| Objetivos | Mostrar detalladamente por parte de los estudiantes los avances propios en investigación. |
| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo. |
| Bibliografía | Depende del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
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TESIS IV |
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| Descripción del curso | Discusión de los alcances, posibles generalizaciones y proyección de los resultados de investigación obtenidos por el estudiante, y que serán parte de su Tesis de Doctorado. |
| Objetivos | Entregar al estudiante las herramientas para la redacción final de su trabajo doctoral y las correspondientes publicaciones que éste genere.
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| Contenidos | Los contenidos dependen del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |
| Modalidad de evaluación | Exposiciones y talleres de trabajo |
| Bibliografía | Depende del área de investigación del académico y estudiantes que participen de la asignatura. |