Coloquio de Estudiantes
El Coloquio de Estudiantes del Programa de Doctorado en Ciencias mención Matemática, que imparte la Universidad de La Frontera, es una instancia organizada por sus estudiantes con fines divulgativos y dirigida a toda la comunidad universitaria de pregrado y postgrado, en donde a través de charlas realizadas periódicamente se dan a conocer diferentes temas relacionados a la investigación matemática de manera accesible y motivante. Los charlistas son estudiantes, docentes del programa e invitados de la UFRO u otras universidades. Estas sesiones son organizadas conjuntamente por el Programa de Doctorado y el Centro de Excelencia Geometría en La Frontera.
Organizadores 2023
Pablo Quezada – Víctor Valdebenito
Sesión 6
Viernes 24 de Noviembre – 15:00 horas
Expositor: Ángel Carocca, Universidad de La Frontera
Título: Grupos simples finitos
RESUMEN:
En esta presentación revisaremos algunos aspectos destacados del proyecto que se prolongó por mas de 110 años y que permitió la clasificación de los grupos simples finitos.
En esta presentación revisaremos algunos aspectos destacados del proyecto que se prolongó por mas de 110 años y que permitió la clasificación de los grupos simples finitos.
Sesión 5
Viernes 25 de Agosto – 15:00 horas
Expositora: Yerika Marín, Universidad de La Frontera
Título: Coloreando mapas sobre superficies
RESUMEN:
El problema de los 4 colores establece que: bastan cuatro colores para colorear un mapa sobre un plano o una esfera, sin que regiones con borde en común tengan el mismo color. Este problema es notorio porque es muy fácil de enunciar pero extremadamente difícil de probar. Además es fácil dibujar un mapa en una esfera que requiere cuatro colores, los mapas que muestran la cantidad máxima de colores necesarios en otras superficies son más complejos. En esta charla presentaremos un bosquejo de la prueba del teorema de los cinco colores y resultados sobre la coloración de mapas sobre superficies cerradas de género g ≥ 1 (P. Heawood). Finalmente, mostraremos una construcción de un modelo de un mapa en un toro con siete regiones usando origami modular con unidades de Sonobe (E. Torrence).
El problema de los 4 colores establece que: bastan cuatro colores para colorear un mapa sobre un plano o una esfera, sin que regiones con borde en común tengan el mismo color. Este problema es notorio porque es muy fácil de enunciar pero extremadamente difícil de probar. Además es fácil dibujar un mapa en una esfera que requiere cuatro colores, los mapas que muestran la cantidad máxima de colores necesarios en otras superficies son más complejos. En esta charla presentaremos un bosquejo de la prueba del teorema de los cinco colores y resultados sobre la coloración de mapas sobre superficies cerradas de género g ≥ 1 (P. Heawood). Finalmente, mostraremos una construcción de un modelo de un mapa en un toro con siete regiones usando origami modular con unidades de Sonobe (E. Torrence).
Sesión 4
Viernes 7 de Julio – 15:00 horas
Expositora: Paola Comparin, Universidad de La Frontera
Título: Las 27 rectas de una superficie cúbica
RESUMEN:
Despierten a un geómetra algebraico en medio de la noche susurrando "27". Hay alta probabilidad que responderá "Rectas en una superficie cúbica". (Ron Donagi y Roy Smith,1901). En esta charla hablaremos del famoso resultado que establece que cada superficie cúbica suave sobre un campo algebraicamente cerrado siempre contiene 27 rectas; veremos una idea de su prueba además de presentar algunos problemas de geometría enumerativa.
Despierten a un geómetra algebraico en medio de la noche susurrando "27". Hay alta probabilidad que responderá "Rectas en una superficie cúbica". (Ron Donagi y Roy Smith,1901). En esta charla hablaremos del famoso resultado que establece que cada superficie cúbica suave sobre un campo algebraicamente cerrado siempre contiene 27 rectas; veremos una idea de su prueba además de presentar algunos problemas de geometría enumerativa.
Sesión 3
Viernes 23 de Junio – 15:00 horas
Expositor: Mauricio Godoy Molina, Universidad de La Frontera
Título: ¡Oye pero qué exótico!
RESUMEN:
Tratando de demostrar que la conjetura de Poincaré era falsa, Milnor en los años 50s construyó "esferas" de dimensión 7 que los geómetras llamaron exóticas: son esferas topológicamente, pero no diferencialmente. Tratando de sonar controversial, básicamente ocurre que en estas "esferas" la función identidad f(x)=x es continua, pero no diferenciable.
Posteriormente, Milnor y Kervaire se dieron cuenta que las esferas exóticas de una misma dimensión (n ≤ 4) forman un grupo finito usando la operación de suma conexa. Todavía sigue siendo un problema abierto si la esfera de dimensión n = 4 admite estructuras exóticas. En caso que se lo pregunte, en R^n no hay estructuras exóticas para n ≤ 4, sin embargo, Freedman/Donaldson/Gompf/
En este seminario trataré de explicar la construcción de las esferas exóticas de dimensión 7 con algo de detalle, especialmente la "esfera" de Gromoll y Meyer. Con menos detalle, trataré de explicar la estructura de grupo y veré algunos ejemplos en diferentes dimensiones. Con nada de detalle no trataré de explicar los R^4 exóticos.
Sesión 2
Viernes 9 de Junio – 15:00 horas
Expositor: Pablo Quezada, Universidad de La Frontera
Título: Haciendo geometría con un conjunto finito de puntos
RESUMEN:
En esta charla nos plantearemos la siguiente pregunta: ¿Podemos hacer una geometría sin restricción en la cantidad de puntos y líneas?, más aún particularmente, ¿podemos hacer una geometría con finitos puntos y líneas?. Analizaremos las consecuencias de esta pregunta, estudiando los planos finitos afines y proyectivos, ejemplos y propiedades de ellos, y caracterizaremos cuándo un plano finito afín o proyectivo admite coordenadas en un cuerpo.
En esta charla nos plantearemos la siguiente pregunta: ¿Podemos hacer una geometría sin restricción en la cantidad de puntos y líneas?, más aún particularmente, ¿podemos hacer una geometría con finitos puntos y líneas?. Analizaremos las consecuencias de esta pregunta, estudiando los planos finitos afines y proyectivos, ejemplos y propiedades de ellos, y caracterizaremos cuándo un plano finito afín o proyectivo admite coordenadas en un cuerpo.
Sesión 1
Viernes 26 de Mayo – 15:00 horas
Expositor: Víctor Valdebenito, Universidad de La Frontera
Título: Ecuaciones cúbicas y clásicos enigmas griegos resueltos con Origami
RESUMEN:
En esta charla se presentará la construcción de los números origami, el cual resulta ser el subcuerpo de los números complejos más pequeño cerrado para raíces cuadradas y cúbicas. La idea es utilizar el doblado de papel para agregar un axioma de construcción a los conocidos números constructibles con regla y compás.
Se verá que con esta construcción es posible trisecar ángulos y duplicar un cubo, pero no cuadrar el círculo. Además se mostrará un método para resolver ecuaciones cúbicas utilizando origami.
El objetivo principal es caracterizar completamente los números origami, estudiando el grupo de Galois de su polinomio mínimo sobre los racionales. Además se caracterizarán los polígonos regulares que son constructibles utilizando regla, compás y doblado de papel.
En esta charla se presentará la construcción de los números origami, el cual resulta ser el subcuerpo de los números complejos más pequeño cerrado para raíces cuadradas y cúbicas. La idea es utilizar el doblado de papel para agregar un axioma de construcción a los conocidos números constructibles con regla y compás.
Se verá que con esta construcción es posible trisecar ángulos y duplicar un cubo, pero no cuadrar el círculo. Además se mostrará un método para resolver ecuaciones cúbicas utilizando origami.
El objetivo principal es caracterizar completamente los números origami, estudiando el grupo de Galois de su polinomio mínimo sobre los racionales. Además se caracterizarán los polígonos regulares que son constructibles utilizando regla, compás y doblado de papel.
